Un pianeta può orbitare stabilmente intorno ad un sistema binario di stelle?
Il progetto di Scratch “un sistema binario e un terzo corpo” è stato costruito per considerare il moto orbitale di due corpi A e C di massa paragonabile, un sistema binario quindi, in prossimità del quale si muove eventualmente un terzo oggetto B di massa molto inferiore se non trascurabile (nota 1).
Nota: il progetto di Scratch che viene utilizzato non è una animazione ma una simulazione che calcola le posizioni usando esclusivamente l'espressione della legge della gravitzione universale di Newton.
Si può immaginare che i corpi A e C siano stelle di un sistema binario ed il corpo B sia una cometa o un asteroide o un pianeta.
Il progetto di Scratch è basato sull’implementazione della legge di gravitazione universale di Newton come illustrato nell’articolo "Sulla gravitazione di tre corpi". In quell'articolo ci si è occupati di mettere a punto un modo di costruire il moto di tre corpi che si attraggono gravitazionalemente con metodi numerici visto che quelli analitici non danno soluzioni esplicite che permettano di ricostruire le traiettorie (nota 2).
Questo progetto di Scratch contiene diversi esempi per vedere cosa accade al sitema binario ed al terzo corpo in circostanze iniziali diverse. I vari esperimenti guidati sono recuperabili con i tasti numerici; è possibile osservare la coppia binaria di stelle ruotare intorno al baricentro del sistema oppure vederlo dal punto di vista della stella principale A o da un punto in moto rettilineo uniforme rispetto al baricentro.
Si possono osservare situazioni dove si vede che il corpo più piccolo (B) pur partendo da un’orbita esterna viene attratto dal sistema binario al suo interno per essere “strapazzato” in traiettorie molto caotiche per poi eventualmente finire scagliato lontano o per impattare su uno di essi.
Il progetto fissa le masse di A a 100 um (unità di massa) e C a 50 um mentre B ha massa molto minore; ci si avvicina ad un sitema binario eppure, malgrado una massa più piccola, B può essere in grado di perturbare le orbite di A e C.
La velocità di calcolo
Il processo si evolve piuttosto lentamente per cui sono messi a disposizione due comandi da tastiera [V] e [L] per sviluppare calcoli più veloci o più lenti.
In ogno caso è indispensabile usare la modalità turbo se si vuole vedere qualcosa in tempi sopportabili, noi non abbiamo la pazienza che si permette il cosmo.
Notare che i calcoli accelerati vengono realizzati allungando l’intervallo di tempo ∆t usato per integrare le equazioni e questo significa maggiori errori.
Se prevale l’interesse per la fluidità del moto vanno bene anche calcoli a velocità accelerata ma il risultato e la precisione ne subiscono le conseguenze peggiorandone i risultati o comunque costruendo evluzioni diverse da altre che sono state ricostruite con altre velocità.
Tuttavia modificando la velocità di calcolo cambiano le traiettorie ma non le conclusioni che se ne possono trarre a proposito dei possibili esiti di certe configurazioni orbitali.
Si sa che i sistemi planetari orbitanti intorno a stelle binarie sono molto particolari e gli esempi descrivibili in questo progetto ne possono dare una spiegazione visiva interessante.
Per fare un buon lavoro si dovrebbe avere una alta precisione utilizzando ∆t molto brevi e quindi con evoluzioni di durata molto elevata, ci vorrebbe più tempo da dedicare all'osservazione.
Però, mentre noi non abbiamo questa pazienza il cosmo ce l’ha ed attende magari milioni di anni per chiarire la situazione di pianeti orbitanti intorno a stelle binarie ripulendo col tempo lo spazio da tutti gli oggetti che percorrono traiettorie caotiche o instabili (nota 3).
Le condizioni iniziali
La differenza di destino fra le traiettorie per ciascun sistema gravitazionale la fanno le condizioni iniziali di posizione e velocità dei tre corpi e nulla consente di sapere in anticipo cosa accade, solo il tempo darà il responso.
Tutte le condizioni iniziali degli esempi hanno velocità iniziali parallele all'asse Y per facilitare i paragoni (nota 4).
I controlli da tastiera
Il progetto è dotato di diversi controlli che permetto di osservare il sistema in diverse situazioni.
Premesso che è sempre opportuno iniziare un esperimento resettando tutto con la bandierina verde ed impostando la modalità “turbo”, sono disponibili comandi come:
- tasto [Q] per avviare il calcolo,
- tasto [E] per cancellare la grafica
- tasto [U] per cambiare colore alla traccia di B.
Nota. I parametri iniziali non sono ottimizzati per tenere ll centro di massa CM all'origine dello stage; col tempo si vede la coppia A-C muoversi in direzione verticale come se avesse un moto di deriva. È trutto giusto, la causa è il mancato azzeramento della quantità di moto iniziale del sistema a cui si ovvia premendo tasto [O], meglio farlo all'inizio o prima di premere tasto [Q]. Altre derive visibili a lungo andare sono dovute alle interazioni con B.
La posizione ed il moto sono recuperabili con i tasti [A], [B], [C], per nascondere questi valori basta premere di nuovo lo stesso tasto.
L’elenco completo dei controlli da tastiera a disposizione è recuperabile usando il pulsante [I] sullo stage.
Un 
illustra possibili utilizzi dei comandi per rendere efficace la realizzazione degli esperimenti.
Il loro uso è deducibile dagli esempi illustrati in questo articolo.
Il punto di vista
Si può cambiare il punto di vista e si possono fare “zoomate”.
Con i tasti freccia si può traslare il baricentro del sistema di 20 passi alla volta e con i tasti [H], [J], [K] si può modificare la scala.
Con il tasto [F] il punto di vista viene posizionato sul corpo A.
Con tasto [R] si può anche immaginare di essere in moto relativo rispetto al sistema binario per scoprire che il moto orbitale può non costruire orbite chiuse rendendo per questo difficile la vita degli astronomi. Con [R] si imposta la velocità di traslazione dell’osservatore verso il basso per vedere il sistema binario evolversi traslando verso l’alto per poi riportarlo in basso con il tasto [G].
Esempi
Il tasto [Y] mette a disposizone la possibilità di sperimentare situazioni a piacere impostando i valori iniziali di A, B e C direttamente in modalità editor senza dover toccare quelli ipostati con i tasti numerici.
esperimento 1)
Con tasto [!] si pone il corpo B con massa 0 um e gli altri due con masse paragonabili con il che si riproduce un sistema binario nel quale A e C orbitano intorno al comune baricentro con traiettorie che si incrociano.
Nella configurazione di default il baricentro del sistema è fissato inizialmente al centro dello stage e l’osservatore è solidale con lo stage. In questa configurazione i due corpi orbitanti occupano sempre posizioni opposte relativamente al centro di massa ed hanno di conseguenza lo stesso periodo.
L’esempio descrive bene quanto accade nei sistemi binari di stelle https://it.wikipedia.org/wiki/Stella_binaria (astronomia) o http://www.infinitoteatrodelcosmo.it/2021/02/23/meglio-in-coppia-se-ben-accompagnate/ come se ne osservano in grande quantità.
I due corpi si allontanano e si avvicinano periodicamente e se ne possono misurare la distanza massima e minima per ottenere la dimensione dell’asse maggiore nonché la misura del periodo (nota 5). Il corpo B, essendo privo di massa, avanza di moto rettilineo uniforme.
Misurazioni
Si possono misurare la distanza minima fra A e C, la distanza massima in ul (unità di lunghezza) e la durata del periodo in tic (nome dell'unitàdi misura del tempo).
Le distanze fra i corpi sono recuperabili premendo il tasto [D].
Per eseguire le misurazioni è utile mettere il calcolo in pausa con il tasto [spazio] e procedere a piccoli passi con i tasti [S] che produce una singola iterazione corrispondente ad un intervallo di tempo ∆t, [X] che produce una sequenza di calcoli per 0,1 tic e [Z] che produce una sequenza di calcoli per 1 tic.
Il risultato è il seguente:
- distanza massima = 150 ul, come da impostazioni iniziali (nota 6),
- distanza minima = 32,94 ul,
- periodo = 44,8 tic
La misura dell’asse maggiore è data dalla somma delle due distanze e quindi vale 182,94 ul.
Queste misurazioni possono essere utilizzate per verificare la corrispondenza dell'esperimento con quanto si deduce dalla teoria.
Alcuni calcoli sono riportati in fondo all'articolo.
Con il tasto [Q] si riprende il calcolo.
Cambiare punto di vista
Con il tasto [F] si cambia il punto di vista: il corpo A è fermo al centro dello stage e il corpo C gli ruota intorno.
Si vede anche il baricentro del sistema, che si trova in una posizione intermedia fra i due corpi, ruotare intorno ad A sulla stessa linea del corpo C (nota 7).
Divagazioni
Tra l’altro questo fatto è alla base del fenomeno delle maree, fenomeno che riguarda non solo la Terra e la Luna ma tutti i corpi orbitanti.
Anche una coppia di stelle di un sistema binario è soggetta a fenomeni di marea e se le stelle sono molto vicine le maree provocano travasi di materia da una stella all’altra.
Inoltre si vede che il corpo B non si muove più di moto rettilineo uniforme ma segue una traiettoria inanellata con delle specie di “cappi”: è solo un cambio di prospettiva, se ci si trova su A si vede B andare avanti ed indietro anche se si muove di moto rettilineo uniforme. Se ci si trova su B si vedrebbe analogamdente A o C avvcinarsi ed allontanarsi, questo allontanarsi ed avvicinarsi produce un effetto doppler periodico della luce ricevuta da B che permette di scoprire stelle binarie e misurarne alcuni parametri orbitali.
È quanto accade se si osservano dalla Terra le orbite dei pianeti non essendo la Terra posizionata sul centro di massa.
Per esempio: Marte in certi momenti dell’anno lo si vede per qualche giorno muoversi di moto retrogrado, fatto che aveva indotto Tolomeo a complicare il suo sistema geocentrico con gli epicicli per spiegare l’anomalia dell’orbita di Marte e a far propendere Copernico per un sistema eliocentrico molto più semplice da rappresentare.
Il moto di deriva del sistema
Se si preme il tasto [R] si può impostare il moto traslatorio verso l’alto per simulare la visione del sistema binario dal punto di vista di un osservatore che si muove di moto rettilineo uniforme verso il basso.
Con R=0 non c’è moto di traslazione.
Con R=1 si vedono due traiettorie elicoidali.
Con R=2 si vede la traiettoria di A che perde il “cappio” assomigliando di più ad una cicloide (nota 8).
Con R=3 e superiori la traiettoria di A perde il “cappio” e tende a “spianarsi”.
Con il tasto [G] si riporta tutto in basso per rivedere le traiettorie.
Si possono anche inserire valori negativi nel qual caso si osserverà un moto traslatorio vero il basso e la perdita del cappio avviene per il corpo C impostando R=-3.
Entra in scena il corpo B
Dopo aver esaminato il sistema binario si possono fare esperimenti per vedere cosa accade se si dota il corpo B di una certa massa.
Con sempre nell'esperimento 1) con tasto [W] si posiziona B molto lontano in basso e lo si dota di una massa non trascurabile.
Si attende che arrivi in prossimità del sistema binario e si vede che cosa accade.
Quello che accade di specifico dipende dalla configurazione del sistema binario al momento dell’interazione ravvicinata ma in genere B viene deviato e le orbite di A e C vengono modificate per sempre con l’aggiunta di un moto traslatorio dato dallo scambio delle quantità di moto con il corpo B: se B viene "sparato" in una direzione, A e C continuano ad orbitare ma con baricentro che si sposta con una componente in direzione opposta.
Talvolta B si allontana molto scomparendo dalla vista, in questo caso non è facile sapere se tornerà o se è ormai stato scagliato fuori del sistema per aver superato la velocità di fuga. Un metodo consiste nel conoscere la sua energia specifica epsilon visibile premendo tasto B. Se il valore è positivo l’oggetto B è perso per sempre.
Un terzo corpo di massa trascurabile può orbitare intorno ad un sistema binario?
Si prova.
Per effettuare prove si dota il corpo B di massa trascurabile di circa un millesimo della massa di A e lo si posiziona ad una certa distanza dal baricentro della coppia principale con una velocità calcolata per percorrere un’orbita circolare in base alla velocità iniziale (nota 9).
esperimento 2)
Con tasto [2] si colloca B alla distanza di 200 ul alla sinistra dalla coppia, gli si imprime una velocità verticale verso il basso di 8.66 ul/tic e si vede cosa accade.
B compie mezzo giro e si perde in alto, forse non torna più o forse ripassa a farsi un altro giro.
Per vedere che B si allontana si preme il tasto [B] che mostra i dati di posizione e velocità.
Per essere sicuri che si stia allontanando indefinitamente basterebbe calcolare la velocità di fuga alla distanza in cui si trova B in un dato istante e confrontare i due valori; questo confronto viene dato dalla variabile epsilon B che fornisce un valore approssimato dell'energia specifica orbitale il cui valore negativo indica orbite ellittiche ed il valore positivo orbite iperboliche con B in fuga indefinita (nota 10).
Se serve, si arresta il calcolo con il tasto [spazio] per rilevare i dati per poi riprendere i calcoli ed il moto con il tasto [Q].
I tasti [S], [X] e [Z] fanno procedere il calcolo per incrementi finiti di ∆t rendendo possibile uno stop&go utile per studiare meglio cosa accade (nota 11).
esperimento 3)
Con tasto [3] si imposta la configurazione iniziale dell'esperimento 2) ma con il corpo B sulla destra lanciato verso l'alto (nota 13).
esperimento 4)
Con tasto [4] la situazione iniziale è identica al caso 2 solo che B viene mosso in direzione opposta al moto degli altri due giusto per osservare la notevole differenza nell’evoluzione della traiettoria data dalla sola circostanza di essere in moto orbitale opposto a quello dei due corpi principali.
È una situazione che non si presenta in natura se non per una incursione di un oggetto proveniente da molto lontano e nato in nubi di gas estranee a quella che ha dato origine alla coppia di stelle A+C: un pianeta espulso da un altro sistema planetario?
L’immagine è scattata dopo un tempo molto lungo; si vede che la traiettoria si è estesa molto al di fuori dello stage ma per ora senza impattare sulle stelle.
Con il tasto [U] è stato cambiato il colore dell’ultima traiettoria per marcarne la differenza da quelle iniziali tendenzialmente circolari e poi sempre più ellittiche (nota 12).
Esperimento 5)
Con tasto [5] si riprende il caso 2) ma di raggio maggiore, anziché 200 ul, il raggio iniziale è a 500 ul, per vedere che l’orbita comincia a stabilizzarsi.
Esperimento 6)
Con tasto [6] si imposta un raggio ancora più grande (1000 u) per osservare che l’orbita è decisamente più stabile, come se fosse ininfluente l’esistenza di un sistema binario anziché una unica massa di valore uguale alla somma e al centro.
Esperimento 7)
Con tasto [7] B arriva da sinistra, incontra il sistema binario AC e ne riceve un “gravity assist” o fionda gravitazionale che fornisce un impulso che lo porta ad allontanarsi definitivamente.
Con tasto [B] si osserva il valore di epsilon che è decisamente positivo: B si perde allontanandosi per sempre.
Esperimento 8)
Con tasto [8] A e C sono un sistema binario che trasla verso destra, B subisce innumerevoli deviazioni per schiantarsi definitivamente (nota 13).
Esperimento 9)
Con tasto [9] si ripete l’esperimento 1) ma ora il corpo B dotato di una massa piccolissima ma diversa da zero.
Il corpo B subisce un gravity assist e viene scagliato lontano nello spazio.
Un illustra questi dieci esperimenti predisposti con i tasti numerici.
Alcuni calcoli svolti per impostare le traiettorie sono illustrati qui:
Note
nota 1: un corpo B di massa notevole paragonabile con le altre è stato esaminato nell’articolo.
nota 2: l’integrazione numerica comporta sempre errori di approssimazione che a lungo andare compromettono il risultato tra cui una inesorabile rotazione delle orbite in senso opposto al moto, una sorta di precessione inversa dovuta solo alle approssimazioni di archi di ellisse con segmenti.
nota 3: in realtà il lavoro di ripulitura accade anche a sitemi a stella singola come per il nostro sistema solare.
nota 4: in alcuni esempi si vede anche che le condizioni inziali non sono sempre a quantità di moto totale nulla e quindi con baricentro fermo del sistema per cui si vede la coppia di stelle che piano piano si sposta verso l'alto o verso il basso specialmente se si osservano eventi di lunga durata. Si può annullare questa deriva del moto imponendo alle condizioni iniziali la'nnullamento della quantità di moto totale oppure producendo una traslazione di segno opposto a qualla data dalla risultante delle quantità di moto.
nota 5: il tempo della simulazione è da misurare in termini di “numero di intervalli di ∆t” usato per le iterazioni di calcolo che arbitariamente viene denominato [tic] che ne è un multiplo.
nota 6: la distanza è misurata in unità u che corrispondono ad un passo di scratch sullo stage in modalità editor e conn scala 1.
nota 7: se si considera la coppia Terra-Luna come un sistema binario quale effettivamente è, ci si rende conto che noi osservatori siamo su uno dei corpi ed osserviamo l’altro illudendoci di vedere l’altro ruotare intorno alla Terra ma in realtà sia la Terra che la Luna ruotano intorno al comune baricentro che però si trova al di sotto della superficie terrestre https://it.wikipedia.org/wiki/Orbita_della_Luna#:~:text=La%20Terra%20e%20la%20Luna,a%2060%20raggi%20terrestri%20circa.
nota 8: accade con R=2 non a caso ma perché la velocità di A verso il basso è proprio 2 per impostazione dei valori iniziali.
nota 9: le velocità vengono calcolate con le usuali formule di astronomia dove G vale 100 N*ul=2*um^-2.
nota 10: valori prossimi a zero non sono da ritenere affidabili a causa delle approssimazioni usate per calcolare epsilonB.
nota 11: questo lavoro è stato sviluppato nel libro epub "satelliti e orbite con scratch".
nota 12: Il codice comprende anche una compensazione del moto del baricentro senza la quale si vedrebbero le orbite di A e C spostarsi lentamente verso l’alto a causa di un valore della quantità di moto totale iniziale non nulla.
nota 13: il suono dell’impatto è un effetto puramente scenico, non si sentono suoni di catastrofi spaziali a meno che non avvengano sulla Terra.