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matematica

A questo link2 un progetto di Scratch per vedere animazioni con le coordinate cartesiane e polari (alla moda dei matematici. nota 1).

Funzionamento

Si inseriscono le coordinate di un punto in modalità cartesiane o polare e poi si attivano diversi modi di pervenire al punto individuato.

(Le istruzioni sono disponibili nel progetto stesso).

Di seguito vengono presi in considerazione alcuni aspetti riguardanti l'uso delle coordinate in relazione ai diversi sistemi di riferimento.

Individuare un punto sul piano

Un punto P su di un piano si può individuare in due modi tramite una coppia di numeri ordinati:

  1. con le coordinate cartesiane si specificano due distanze dall'origine (punto di incrocio degli assi) scritte nell'ordine ascissa x e ordinata y 
  2. con le coordinate polari si specificando nell'ordine la distanza da un punto ro e l'angolo α di cui deve ruotare una retta per sovrapporsi al punto.

Nei due casi occorre fissare convenzionalmente un sistema di riferimento per la misura delle distanze e degli angoli.

I sitemi di riferimento devono specificare dove sia lo zero per la misura delle distanze e degli angoli ed il verso dei valori crescenti.

Coordinate cartesiane

Il sistema di riferimento basato sulle coordinate cartesiane si basa sul posizionamento di due rette orientate, ortogonali fra loro con l'asse x posto orizzontalmente e positivo verso destra e l'asse y posto verticalemte e postivo verso l'alto.

Le unità di misura sono identiche per i due assi (nota 2).

Le coordinate cartesiane permettono di individuare un punto sul piano per mezzo di due numeri che rappresentano la distanza da uno dei due assi.

Per i bambini sono stati preparati dei giochi per l'avviamento al piano cartesiano realizzati con Scratch link2

Per l'uso delle coordinate cartesiane si devono

  • posizionare sul piano due rette orientate ortogonali (nota 3),
  • individuare l'origine dei numeri su ciascuno degli assi,
  • fissare un verso positivo per entrambi gli assi,
  • indicare una unita di misura per le distanze.

L'origine delle isurazioni sugli assi cartesiani è posto all'incrocio degli stessi.

Per l'uso nelle materie scientifiche i due assi sono posizionati con:

  • asse delle ascisse, o delle x, con numeri crescenti da sinistra verso desta e con lo zero all'incrocio con l'altro asse (origine);
  • asse delle ordinate, o delle y, con numeri crescenti dal basso verso l'alto e con lo zero all'incrocio con l'altro asse (origine).

Alla fine:

  • l'origine comune O degli assi cartesiani ha coordinate (0,0);
  • l'asse x ha tutti i suoi punti alla coordinata y=0;
  • l'asse y ha tutti i suoi punti alla coordinata x=0;
  • Il punto x= 10 rappreseta tutti i punti che stanno sulla destra dell'asse y e che hanno da questo una distanza pari a 10 Unità;
  • il punto x= -20 appresenta tutti i punti che stanno sulla sinistra dell'asse y dal quale distnao 20 Unità;
  • il punto y= 30 rappresenta tutti i punti che stanno al di sopra dell'asse x ad una distanza pari a 30 Unità;
  • il punto (30,-10) è l'unico punto che dista dall'asse y di 30U alla destra e dista dall'asse x di 10 Unità sotto.

Un gioco pensato per bambini e realizzato per il solo primo quadrante con Scratch illustra questo concetto link2.

Coodinate polari

Le coordinate polari permettono di individuare un punto sul piano con:

  • la distanza da un punto chiamato "polo" con il che si disegna una circonferenza di raggio pari alla distanza, ed
  • un angolo per individuare la posizione del punto sulla circonferenza misurato a partire da una posizione abitraria sulla circonferenza fissata come origine degli angoli e con un verso di crescita degli angoli da scegliere a priori.

Per l'uso delle coordinate polari si devono fissare:

  • un punto di riferimento per le distanze (il polo),
  • una Unità di misura per le distanze,
  • una semiretta con origine nel polo da considerare come base per la misurazione degli angoli,
  • una unità di misura per gli angoli,
  • un verso positivo per gli angoli.

Quando si fa coincidere l'origine degli assi cartesiani con il polo e il semiasse positivo delle x con la base per la misura degli angoli si ha una regola per passare da un sistema di coordinate all'altro: è la regola che si usa in matematica e fisica.

Una regola alternativa fa coincidere la base della misurazione degli angoli con l'asse positivo delle y edu sa la rotazione oraria come verso positivo per gli angoli: è la regola usata in topografia.

Convenzioni sulla misurazione degli angoli

Occorre ancora fissare convenzionalmente l'unità di misura per gli angoli (gradi sessagesimali, gradi centesimali, radiant), la semiretta da considerare come base per la misurazione degli angoli 8asse x o asse y) e la direzione delle rotazioni da considerare positive (oraria o antioraria):

  • i topografi usano l'asse y come base per la misurazione degli angoli con verso positivo orario ed angoli misurati in gradi;
  • i matematici usano l'asse x come base per gli angoli con verso positivo antiorario ed angoli misurati in radianti (nota 4).

Nel seguito si usa la convenzione usata in matematica.

cartes polar2

Conversioni di coordinate

Descrizione della figura:

  • sulla retta di colore arancione parallela all'asse y ci sono tutti i punti di ascissa x ,
  • sulla retta di colore blu parallela all'asse x ci sono tutti i punti di ordinata y ,
  • all'incrocio delle due rette si trova il punto P con coordinate (x,y),
  • sulla circonferenza rossa ci sono tutti i punti che hanno la stessa distanza ρ (ro, in greco) dall'origine,
  • lungo la semiretta inclinata dell'angolo α ci sono tutti i punti che hanno la stessa rotazione angolare rispetto alla semiretta x positivo,
  • all'incrocio della circonferenza con il lato inclinato dell'angolo α si trova il punto P con coordinate (ρ,α).

Il punto P è lo stesso in entrambi i sistemi di riferimento, la sua posizione (x,y) è la stessa di (ρ,α).

Con queste precisazioni le coordinate di un punto si possono convertire da un sistema all'altro utilizzando le proprietà del triangolo rettangolo.

Da cartesiane a polari

\[ \rho=\sqrt{x^2+y^2}\]

\[ \alpha=\arctan\dfrac{y}{x}\]

Da polari a cartesiane

\[ x=\rho*cos(\alpha)\]

\[ y=\rho*sin(\alpha)\]

 

Scratch

Scratch utilizza le coordinate cartesiane per posizionare lo sprite sul piano dello stage e le coordinate polari per collocare i punti in relazione allo sprite. 

Un punto sul piano dello stage non può essere comandato con "vai alla distanza ρ ad un angolo α", semplicemente non esiste il comando ... ma lo si può costruire utilizzando i blocchi personalizzati.

Il comando potrebbe essere di questo tipo:

vai a ro alfa comando

per richiamare il blocco che posiziona lo sprite alla distanza ro dall'origine e su una retta inclinata dell'angoolo alfa :

vai a ro alfa esecutore

Questo blocco è stato scritto con una covenzione sugli angoli che non è quella usata da Scratch ma è quella usata dai matematici.

Nota: ricordo che in Scratch gli angoli sono misurati in gradi, il senso positivo è orario e l'origine degli angoli è l'asse y.

Per passare da una notazione all'altra basta utilizzare la relazione:

\[ \alpha_{mat}=90-\alpha_{top}\]

link2link2per approfondimenti.

 

Note

nota 1: come spiegato nel testo, matematici e topografi usano due convenzioni diverse che comportano de differenti rappresentazioni polari con regole di trasformazione diverse.

nota 2: le unità di misura possono essere diverse se serve, ma occorre tenerne conto in tutte le relazioni che riguardano rapporti fra le coordinate e le relazioni trigonomentriche oltreché il loro significato.

nota 3: l'ortogonalità non è indispensabile ma qui non è il caso di complicarsi la vita.

nota 4: questa convenzione consente di utilizzare la regola della mano destra che mettendo le quattro dita nella direzone di rotazione antioraria, pone il pollice nella direzione dell'asse z in un sistema di riferimento tridimensionale. Il terzo asse zeta in una rappresentazione tridimensinale è così uscente dall'origine ed è rivolto verso l'osservatore. Le rotazioni sono rappresentate da vettori perpendicolari al piano di rotazione quindi deve usare la terza dimensione Una rotazione positiva del piano xy viene rappresentata da un vettore parallelo all'asse zeta. Una rotazione che muove una semiretta con origine all'origine degli assi cartesiani in senso antiorario (x che va verso y) viene indicata con le dita della mano destra nello stesso verso per cui il pollice ce lo si trova rivolto verso l'alto indicando la direzione positiva dell'asse z.