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Lavorando con Scratch può accadere di imbattersi nel calcolo di derivate di funzioni trigonometriche.limSixSux

Nel libro "Cinematica 2 con Scratch" viene costruito il moto armonico a partire dalla velocià calcolata con

\[V_M*\cos(\omega*t)\]

Con una successiva costruzione puramente numerica si calcolano l'accelerazione e lo spazio percorso.

I risultati di queste due operazioni numeriche vengono confrontati con i risultati delle corrispondenti operazioni analitiche di derivazione ed integrazione.

Per considerare i risultati del calcolo numerico occorre ricordare che Scratch esegue calcoli con gli angoli espressi in gradi sessagesimali.

Nell'espressione di cui sopra, la grandezza ω è misurata in gradi/sec e non in rad/sec.

Con gli angoli espressi in gradi il rapporto tra i valori massimi della velocità e dell'accelerazione, sua derivata, è diverso da 1.

Se si va a vedere come si trova la derivata del seno o del coseno di un angolo ci si accorge che il risultato dipende dal limite notevole

\[\lim_{h \rightarrow 0}\frac {sin(h)}{h}\]

Quando gli angoli sono misurati in gradi sessagesimali (nota 1) si dimostra matematicamente che tale limite è 

\[\frac{\pi}{180}\]

ciclo sinxsuxL'applicazione di Scratch "limite(x>0) di sinx/x" consente di verificare il suddetto risultato grazie al calcolo effettuato da un ciclo di ripetizione che progressivamente riduce l'argomento "x" con successive divisioni per 10 fino a raggiungere il limite inferiore della capacità di Scratch di manipolare i numeri reali (come già visto con l'articolo numero macchina e precisione di Scratch.

Con questa applicazione si possono effettuare prove con angoli in radianti ed in gradi.

Ad ogni prova viene inserito un angolo a caso compreso fra 0 e 90 gradi per verificare che il risultato è indipendente da questo valore iniziale.

 

I risultati, a meno della precisione disponibile che si estende ad una parte decimale di 16 cifre, sono:

- premendo "G" si esegue il ciclo con angoli in gradi, come è nella geometria di Scratch, ed il risultato è 

\[\lim_{h \rightarrow 0}\frac {sin(h_{deg})}{h_{deg}}=0,017453292519943295\]
che coincide con
\[\frac{\pi}{180}\]

- premendo "R" si esegue il ciclo con gli angoli in radianti ottenuti con l'espressione

\[\alpha_{rad} =\alpha_{deg}*\frac{\pi}{180}\]

dove il valore di pi.greco viene inserito dall'operatore ottenedo un risultato che approssima il valore "1" in modo accettabile (non avviene in modo esatto per l'approssimazione scadente del valore di pi.greco ... provare con valori sempre più precisi per vedere quanto l'approssimazione con due sole cifre decimali sia poco accettabile per questo tipo di utilizzo);

- premendo "P" si utilizza un valore di pi.greco con 16 cifre decimali e si ottiene

\[\lim_{h \rightarrow 0}\frac {sin(h)}{h}=1\]
 

L'esprimento consente anche di verificare il risultato qualora l'argomento del seno sia una funzione di x che, nel caso, è x moltiplicato un fattore intero modificabile dall'utente.

Si vede che, applicando fattori diversi da 1, il limite è aumentato della stessa quantità come previsto dalle regole sulle derivate.

 

Chi fosse interessato ad avere una maggiore quantità di cifre decimali di pi.greco può andare a recuperarle qui, dovrebbero esere sufficienti!

 

Note

nota1: quando gli angoli sono misurati in radianti, tale rapporto vale 1.

 

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